中的闭凸子集
，若
，则变分不等式
我们将移动网格方法应用到变分不等式问题和最优控制问题。由于我们发展的移动网格方法 将网格移动和问题求解完全分开，可以应用于静态问题，从而可能应用于变分不等式和最优 控制问题。变分不等式和最优控制 问题的误差出现的区域和解的梯度基本上没有什么关系，所以我们要使用后验误差估计来 构造控制函数。计算结果表明，对于静态问题，移动网格方法也可以得到预期的结果。但是， 并不是所有的后验误差估计都能够用来构造控制函数，获得满意的网格。后验误差估计必须 足够准确，才能够对于网格的构造有有效的指导意义。
变分不等式的问题是很多研究者感兴趣的问题，但是我们只是需要它的一个足够精确的后验误差 估计。变分不等式的一个最简单的例子是障碍问题。 这个问题形式虽然简单，但是迄今仍然有一些没有研究清楚的部分。对于给定的一个
中的闭凸子集
，若
，则变分不等式
其中
，
是
对称正定的矩阵 函数，其元素
，
是区域的维数，在
中存在唯一解。 我们给出的误差估计形为
其中，
是Lagrange插值算子，
表示
-法向导数 在两个单元边界上的跳跃
其中，
是
的单位外法向量。
我们这里选择的变分不等式的例子都是从不同的文献中间挑选的，有一定的代表性。
区域
，
，零障碍，精确解 为
其中，
，自由边界是
。下面是计算结果的 图形：
这个例子来自于Kornhuber的研究，是一个障碍不为零的例子。区域为
， 
，
。对于非零的障碍，我们要把特征函数
的表达式修改为
下面是计算结果的图形
这个例子的背景是不可压无粘流体渗透一个方形水坝的模型，Ainsworth，Oden和 Lee都对它进行了研究，并作出了一个后验误差估计，
，
，
其中
， 
， 
， 
，
计算结果如下图
我们将考虑具有障碍约束的线性椭圆型分布式最优控制问题。前面所 讨论的障碍问题事实上是这个问题的一个子问题。众所周知，在这种情况下，障碍集中的部分对解 是较少有贡献的，现有的误差估计尚未考虑到这个重要的现象，从而使得估计不够精确，根据 这样的估计所构造的自适应方法的效率也因此受到很大的影响。但是，在障碍集中的解仍然对解有 一定的影响，根据Chen和Nochetto的观点，要想完全的将其对误差估计影响消除似乎是不可能的。 我们要将这种影响尽可能的消除，从而得到一个既是上界，也是下界的一个误差估计，然后应用 这样一个比较准确的误差估计来构造网格，希望在得到的网格能够有效求解原问题。这个问题具有 如下的形式
其中，
和
是凸泛函，
是一个闭凸集，
是连续线性算子。控制 
定义在区域
上，状态
定义在区域
上，它们的边 界
和
都是Lipschitz的，
和
在
中，
。我们用
和
表示
和
中的半 范数，将状态空间取为
，控制空间取为
。 假设
和
是在
和
连续可微的严格凸泛函，
是
中的凸子集，
，
是从
到
（
的对偶空间）的连续线性算子，
满足对任意向量
，存在常数
，使得
我们还假设当 
，有
，泛函
有下界。
精确解为
其他数据为
我们可以看到，误差分布的形状和误差估计的形状的吻合程度很高，验证了误差估计的准确 性。在网格移动了以后，误差估计的分布得到了平均化。分片线性相比于分片常数解来说， 网格更加集中于自由边界的位置。我们列出了在每一个网格迭代步骤以后的解的计算误差， 作为参考。
精确解为
其他数据为
由于在非障碍集的内部，误差只占总体误差的一小部分，所以在网格移动以后，误差减小的比例 相当的大，对于前一个例子，由于非障碍集内部的误差占了总误差的相当大一部分，所以在网格 移动以后，误差减小的幅度并不象这个例子这么明显。
1.2.18